Das folgende orientiert sich in dem groben Zügen an Bourbakis Éléments de Mathématique.

Die Mathematik hat natürlich stets der Logik bedurft, doch dauerte es sehr lange, bis sie selbst sich mit ihren Grundlagen beschäftigte.

Es war die Mengenlehre, die dies änderte. Diese hatte sich aus der Beschäftigung mit der Topologie entwickelt, genauer mit den Â»Paradoxien des Unendlichen« (Bernard Bolzano), wie man sie in dem Umgang mit den reellen Zahlen erlebte. Als man mit der Mengenlehre die unendlichen Mengen gemeistert hatte, war dies zugleich die Geburtsstunde einer neuen Mathematik, die sich von der Herrschaft der Zahlen und geometrischen Gebilde emanzipiert hatte. Aus dem Â»Paradies der Mengenlehre« (David Hilbert) wollte man sich nicht mehr vertreiben lassen.

Als sich die Â»naive« Mengenlehre als unhaltbar erwies, gewann plötzlich das Gebiet der mathematischen Logik jenes Interesse, das ihm von Leibniz bis Frege versagt geblieben war, und blühte rasch auf. Dabei dient die Formalisierung der Logik dem Absicht, die einzelnen Beweisschritte zu isolieren und Beweise vollständig als Folgen elementarer Operationen darstellen zu können, um diese dann mit mathematischen (z.B. arithmetischen) Mitteln (Gödel) zu behandeln. Bei der Behandlung axiomatischer Theorien interessiert man sich für deren widerspruchsfreien Aufbau und ihr Verhältnis zueinander.

Inzwischen haben sich vielfältige Teilgebiete und Anwendungen in und außerhalb der Mathematik herausgebildet, u.a. gehören dazu in der Informatik auch Beweissysteme .

Die Mengenlehre findet heute Ergänzung als lingua franca der Mathematik in der Kategorientheorie, die sich in den vierziger Jahren aus der algebraischen Topologie entwickelte.

In der modernen Algebra, wie sie seit den 1920er Jahren gelehrt wird, entwickelt man ausgehend von einer Menge mit ca. einer Â»inneren Operation« (Gruppoid oder Magma genannt) nacheinander die algebraischen Grundstrukturen der Monoide, Gruppen, Ringe und Körper, die allgegenwärtig sind, unter anderem, weil die verschiedenen Zahlmengen solche Strukturen aufweisen. Eng verbunden sind damit Polynome und Moduln/Ideale.

Die Lineare Algebra hat Moduln als Gegenstand. In dem einfachsten Fall sind dies Vektorräume, d.h. Moduln über Körpern, meistens R oder C. Dies sind die Räume der klassischen Geometrie und Analysis. Aber es gibt auch wesentlich kompliziertere Situationen. Die multilineare Algebra dehnt die Behandlung auf das Tensorprodukt und verwandte Erscheinungen aus. Ein enger Zusammenhang besteht zur Ringtheorie und Homologischen Algebra; eine klassische Fragestellung ist die Invariantentheorie .

Die Galoistheorie ist einer der Höhepunkte der Mathematik in dem 19. Jahrhundert und Anfang der Körpertheorie. Ausgehend von der Frage nach der Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen behandelt sie Körperweiterungen (und erfindet dabei die Gruppentheorie).

Weitere Gebiete: Gruppentheorie, Kommutative Algebra

Die Topologie ist ein großes und grundlegendes Gebiet, mit vielen Anwendungen. Anstöße kamen aus der Analysis (Reelle Zahlen), der frühen Algebraischen Topologie, der Funktionentheorie (Riemannsche Flächen).

Zunächst werden die Kategorie der topologischen Räume und Verfahren zu ihrer Konstruktion eingeführt. Die eng verbundenen Grundbegriffe sind Â»Zusammenhang«, Â»Stetigkeit« und Â»Grenzwert«. Weitere wichtige Themen sind Â»Trennungs Merkmale« und Â»Kompaktheit«. Uniforme Räume haben eine Topologie, die (in Verallgemeinerung metrischer Räume) über eine Art von Abstand definiert ist. Hier kann man Cauchy-Filter definieren und damit den Begriff der Vollständigkeit und die Methode der Vervollständigung eines topologischen Raumes.

Topologische Gruppen, Ringe und Körper sind die entsprechenden algebraischen Objekte (sh. oben), die zusätzlich mit einer Topologie versehen sind, bezüglich derer die Verknüpfungen (d.h. bei Ringen und Körpern Addition und Multiplikation) stetig sind. Ein historisch und praktisch wichtiges Beispiel sind die reellen Zahlen: sie werden durch Vervollständigung der rationalen Zahlen Q bezüglich der Topologie, die vom Standardbetrag herkommt, konstruiert. Man kann jedoch auch für eine fest gewählte Primzahl p den sogenannten p-adischen Betrag einführen, dann ergibt sich als Vervollständigung der Körper der p-adischen Zahlen Q_p . Für diesen interessiert sich beispielsweise die Zahlentheorie.

Metrische Räume sind uniforme Räume, deren Topologie von einer Metrik abgeleitet ist und damit besonders übersichtlich und auch anschaulich. Daneben kennt man viele andere Klassen von Räumen.

Für Anwendungen in Analysis und Funktionalanalysis sind topologische Vektorräume grundlegend. Besonders interessant sind lokalkonvexe Räume (und ihre Dualräume), für die es eine schöne Theorie mit wichtigen Resultaten gibt.

Weitere Gebiete: Algebraische Topologie

Die Analysis behandelt differenzierbare Abbildungen zwischen topologischen Räumen, von den Zahlkörpern R und C bis zu Mannigfaltigkeiten und Hilbert-Räumen (und darüber hinaus). Sie war schon die Mathematik der Naturwissenschaften des 17. und 18. Jahrhunderts und ist es stets noch.

Im Mittelpunkt der Analysis steht die Infinitesimalrechnung: Die Differentialrechnung beschreibt mit Hilfe der Ableitung eine Funktion Â»im Kleinen«; Integralrechnung und die Theorie der Differentialgleichungen ermöglichen es umgekehrt, aus der Ableitung auf die Funktion zu schließen.

Die algebraisch definierten rationalen Funktionen werden um die Exponentialfunktion und ihre Verwandten und viele andere, durch Differentialgleichungen und Potenzreihen gegebene spezielle Funktionen ergänzt.

Betrachtet man Funktionen, die den komplexen Zahlkörper in sich abbilden, so drängt sich die Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit auf, die weitreichende Folgen hat. Solche Funktionen sind stets analytisch, d.h. in dem kleinen durch Potenzreihen darstellbar. Ihre Behandlung heißt Funktionentheorie, sie gehört zu den großen Leistungen des 19. Jahrhunderts.

Wie man die Erdoberfläche stückweise, oder wie man sagt, Â»lokal« oder Â»im kleinen« durch ebene Karten darstellen kann, definiert man Mannigfaltigkeiten als Hausdorff-Räume zusammen mit einen Atlas aus kompatiblen Karten, die eine Umgebung eines jeden Punktes in einen gewissen Modellraum abbilden. Mit einigen zusätzlichen Annahmen hinsichtlich der Karten kann man Â»Analysis auf Mannigfaltigkeiten« betreiben. Heute liegt der Cartansche Differentialformenkalkül der Ãœbertragung analytische Begriffe auf Mannigfaltigkeiten zugrunde; dabei kommt es darauf an, die neuen Begriffe Â»intrinsisch«, das heißt unabhängig davon zu definieren, welche konkrete Karten man zu ihrer Realisation benutzt. Für einen Großteil der Begriffe kann man das, wenngleich es nicht stets einfach ist und zu einer Reihe neuer Begriffsbildungen führt. Als ein Beispiel sei der Satz von Stokes genannt, der den Fundamentalsatz der Analysis (Satz von Barrow) verallgemeinert. Eine wichtige Rolle spielt diese Theorie in anderem Gewande, als Vektoranalysis und Ricci-Kalkül in der Physik. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind auch Gegenstand der algebraischen Topologie (vgl. de-Rham-Cohomologie und Differentialtopologie ); mit zusätzlichen Strukturen sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten Thema der Differentialgeometrie.

Aus der uralten Frage nach Maß und Gewicht erwuchs erst Anfang des 20. Jahrhunderts unter Aufnahme topologischer Begriffe die Maßtheorie, die dem gegenwärtigen, sehr leistungsfähigen Integralbegriff und seinen Anwendungen zugrunde liegt, aber auch der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Ungefähr zur selben Zeit entwickelte sich aus dem Studium von Integral- und Differentialgleichungen die Funktionalanalysis als das Studium von Funktionenräumen und von deren Abbildungen Operatoren. Die ersten Beispiele solcher Räume waren die Hilbert- und Banachräume. Sie erwiesen sich als der Behandlung mit algebraischen wie topologischen Instrumenten zugänglich, und eine umfangreiche Theorie nahm hier ihren Ursprung.

Weitere Gebiete: gewöhnliche Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Lie-Gruppen

Ein aus dem Studium der Kegelschnitte entstandenes und noch sehr aktives Gebiet mit engsten Beziehungen zur kommutativen Algebra und Zahlentheorie ist die algebraische Geometrie. Gegenstand der älteren Theorie sind bis etwa 1950 algebraische Varietäten , d.h. Nullstellenmengen algebraischer Gleichungen in dem projektiven (komplexen) Raum, inzwischen fand eine starke Verallgemeinerung der Fragestellungen und Methoden statt.

Kombinatorik -- Mengenlehre -- Statistik -- Berechenbarkeitstheorie -- Graphentheorie -- Spieltheorie -- Kryptographie

Historisch Die euklidische Geometrie war das erste Beispiel einer axiomatischen Theorie, wenn es auch bis Hilbert dauern sollte, um diese Axiomatisierung abzuschließen. Nachdem Descartes das Programm aufgestellt hatte, ihre Probleme zu algebraisieren, fand sie neues Interesse und entwickelte sich zur algebraischen Geometrie. In dem 19. Jahrhundert wurden nichteuklidische und Differentialgeometrie entwickelt. Ein Großteil der alten Geometrie wurde zur Algebra oder Topologie.

Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin in dem 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik, da sie eine Entkoppelung der Repräsentation (z. B. die reellen Zahlen) von der inneren Struktur darstellt (Gesetze für Gruppen).

Lie-Gruppen beschreiben die typischen Symmetrien in der Geometrie und der Physik. Im Gegensatz zu "nackten" Gruppen tragen sie eine topologische Struktur (genauer: sie sind eine Mannigfaltigkeit) und ermöglichen es kontinuierliche Transformationen zu beschreiben, z.B. bilden die Rotationen oder die Translationen eine solche Gruppe.

Die numerische Mathematik konstruiert und analysiert Algorithmen zur Lösung von kontinuierlichen Problemen der Mathematik. Waren die Algorithmen usprünglich zur Rechnung per Hand gedacht, so wird heutzutage der Computer eingesetzt. Wichtige Hilfsmittel sind dabei Approximationstheorie, Lineare Algebra und Funktionalanalysis. Es spielen vor allem Fragen der Effizienz und Genauigkeit eine Rolle, ferner müssen die auftretenden Fehler bei der Rechnung berücksichtigt werden.

Die Philosophie der Mathematik wiederum hinterfragt die axiomatischen Systeme.

In Anfängen in der Antike vorhanden, hat sich dieses Gebiet zunächst und lange Zeit aus der Versicherungsmathematik, v.a. auch dem Spezialfall der Theorie des Glücksspiels gespeist. Man unterscheidet:

• Wahrscheinlichkeitstheorie i.e.S. (Stochastik) als Theorie stochastischer Experimente. Absicht ist es, zu einem gegebenen Experiment die Verteilung der Zufallsvariablen zu bestimmen.
• darauf aufbauend die mathematische Statistik, die, bei unvollkommener Kenntnis des Experimentes, aus gewissen Ergebnissen (einer Stichprobe) auf die zugrundeliegende Verteilung schließen will. Zwei Fragen stehen in dem Mittelpunkt:
  • Bestimmung von Parametern (Schätztheorie)
  • Klassifikation von Fällen (Entscheidungstheorie)

Dabei werden diese Aufgaben als Optimierungsprobleme gestellt, was für die Statistik charakteristisch ist.

Die moderne Theorie ist seit den Arbeiten Kolmogorows eine wichtige Anwendung der Maßtheorie.

Weitere Gebiete: Ergodentheorie , statistische Mechanik, Informationstheorie, Operations Research

Ein altes, schon in der Antike blühendes Fach, dessen Ausgangspunkt die überraschenden Merkmalen der natürlichen Zahlen bilden (auch Arithmetik genannt). Gefragt wird zunächst nach Teilbarkeit und Primalität. Auch viele mathematische Spiele gehören hierher. Viele Sätze der Zahlentheorie sind einfach zu formulieren, aber schwer zu beweisen.

In der Neuzeit findet die Zahlentheorie zuerst bei Fermat erneutes und zugleich zukunftsweisendes Interesse. Gauß' Disquisitiones Arithmeticae bilden 1801 einen Höhepunkt und regen eine intensive Forschung an. Heute haben sich, entsprechend den benutzten Mitteln, zur elementaren die analytische, algebraische und geometrische Zahlentheorie gesellt. Lange galt die Zahlentheorie als (praktisch) absolut nutzlos, bis sie mit der Entwicklung der asymmetrischen Kryptographie plötzlich in den Mittelpunkt des Interesses rückte.